Cónicas inscritas en un triángulo a partir de un foco

Una cónica Ω esta inscrita en un triángulo △ABC si es tangente a sus tres lados o sus prolongaciones. En este applet se ve que hay una sola cónica no degenerada si uno de sus focos P no esta situado en los lados o sus prolongaciones, y la forma de construirla.

Las dos tangentes que pueden trazarse a una cónica desde cualquier punto exterior a ella, forman ángulos iguales con las rectas que unen el punto con los focos (radios vectores del punto). En el caso de una parábola, forman ángulos iguales con el único radio vector y el eje secundario que pasa por el punto.

Se sugiere desmarcar todas las casillas de verificación y luego marcar sucesivamente las cuatro primeras según se lee este texto.

Por tanto, los focos P y Q de una cónica inscrita en un triángulo △ABC son conjugados isogonales respecto a este. En el caso de una parábola, el segundo foco está situado en el punto del infinito correspondiente al eje de la parábola, de acuerdo con lo dicho antes. Es lo que ocurre cuando el foco P se sitúa en la circunferencia circunscrita ω.

Una propiedad de los conjugados isogonales es que los simétricos respecto de los lados de cada uno de ellos están en una circunferencia con centro en el otro. En el caso de la parábola, los simétricos del foco se hallan en una recta perpendicular al eje, circunferencia con centro en el punto del infinito de éste. Esta recta, que no es otra que la directriz de la parábola, es paralela a la recta de Simson-Wallace y pasa por el ortocentro (ver Parábola tangentes a los lados de un triángulo).

Los simétricos {Q_a, Q_b, Q_c} de Q se hallan entonces en una circunferencia de centro P y los lados del triángulo son las mediatrices de los segmentos QQ_x, y por tanto son tangentes a una elipse/hipérbola de focos P y Q con eje principal, suma/diferencia de distancias a los focos, igual al radio de esta circunferencia.

Si P está en el interior del triángulo, Q también y Ω es una elipse interior al triángulo. Si P está entre los lados y la circunferencia circunscrita ω, Q se halla en la zona angular ilimitada opuesta y Ω es una hipérbola tangente a un lado y las prolongaciones de los otros dos. Si P se halla en las zonas delimitadas por un lado y las prolongaciones de los otros dos, Ω es una elipse tangente a estas tres líneas. Finalmente, si P está en ω, y no es uno de los vértices, Ω es una parábola tangente al lado más próximo y a las prolongaciones de los otros dos.

Considerando el hexágono con puntos de tangencia DDEEFF circunscrito a la cónica Ω, donde se han hecho coincidir tres pares de puntos consecutivos de tangencia, en virtud del Teorema de Brianchon, los segmentos que unen los vértices del triángulo con estos puntos de tangencia concurren en un punto T, punto de Brianchon o perspector de Ω respecto del △ABC. En el caso de una parábola, el perspector se halla en la Elipse Circunscrita de Steiner de △ABC.

Pueden moverse los vértices del triángulo, así como el punto P. Los botones [P en ω] y [P libre] furzan a que P se mueva por ω o vuelva a poder desplazarse libremente. La casilla [Mostrar Cuadrícula] permite ver la cuadrícula y posicionar mejor los puntos A, B, C y P.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 9 agosto 2026. Creado con GeoGebra