Teorema de Brianchon

'Si un hexágono está circunscrito a una cónica, las diagonales de los vértices opuestos se cortan en un punto.'

Por hexágono se entiende la figura formada por seis vértices (puntos G, H, I, J, K y L) dados en orden cíclico y los seis lados (rectas a, b, c, d, e y f) que conectan cada uno con el siguiente, tangentes a la cónica en los puntos A, B, C, D, E y F. Se trata de un teorema proyectivo, por lo que deben tenerse en cuenta los puntos y recta impropios (del infinito).

El punto de intersección de las diagonales p, q y r, es el punto de Brianchon T de la configuración. No solo depende de los lados/tangentes, sino del orden que tienen en el hexágono.

Se trata del dual proyectivo del teorema de Pascal.

Pueden desplazarse los cinco puntos blancos, que definen la cónica, y los seis puntos A, B, C, D, E y F.

Se puede mostrar la cuadrícula para facilitar la obtención de distintos tipos de cónicas.

El teorema de Brianchon nos permite conocidas 5 tangentes a una cónica, hallar infinitas más. Para verlo, puede activarse la casilla 'Sexta tangente' y mover el deslizador paso a paso, o utilizar las herramientas disponibles en la barra superior:

Si se prescinde de la tangente f, basta tomar un punto cualquiera en una de sus vecinas, como L' en a. Hallamos el nuevo punto de Brianchon T' cortando la diagonal p, única que permanece, con la diagonal L'I. La otra diagonal será entonces HT', que corta a la tangente e en K'. La nueva tangente f' es entonces la recta L'K', tangente a la cónica en el punto F'.

Cuando L' recorre la tangente a, K' recorre la tangente f, T' la diagonal p y F' recorre la cónica, que está pues completamente determinada por cinco de sus tangentes.

Si se hacen coincidir dos pares de puntos de tangencia, de manera que se confunden con el vértice que los separa en el perímetro del hexágono, este se transforma en un cuadrilátero y se obtienen conclusiones interesantes sobre cuadriláteros circunscritos a una cónica.

Si los pares son opuestos, como {A, B} y {D, E} en la disposición inicial, se concluye que los segmentos que unen los puntos de tangencia de un cuadrilátero circunscrito concurren en el mismo punto que las diagonales (Concurrencia en los cuadriláteros circunscriptibles).

Si los pares son contiguos, como {A, B} y {C, D} en la disposición original, se ve que los segmentos que unen los puntos de tangencia de dos lados contiguos con vértices opuestos se cortan sobre la diagonal que no pasa por estos vértices.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 25 agosto 2016. Creado con GeoGebra