Círculo pedal y recta de Simson-Wallace

Para un punto cualquiera P del plano del △ABC se definen los puntos P_A, P_B y P_C como los pies de las perpendiculares trazadas por P a los lados opuestos a los vértices A, B y C respectivamente. El triángulo P_AP_BP_C es el triángulo pedal de P, y su círculo circunscrito Ω, el círculo pedal de P.

Los conjugados isogonales, P y Q en la figura, comparten el mismo círculo pedal Ω. En la demostración de este hecho, se emplea la propiedad 'perpendicular' de las líneas isogonales y el concepto de potencia de un punto respecto a una circunferencia, aplicado al punto C, a las dos circunferencias auxiliares y a Ω. El centro de Ω es el punto medio de P y Q. En el caso de P sea el ortocentro o el baricentro, se trata de la circunferencia de los 9 puntos c9p.

Si los tres pies de las perpendiculares están alineados, el círculo Ω se transforma en una recta y el punto Q queda indefinido (en realidad es el punto del infinito correspondiente a la dirección perpendicular a la recta). Esto ocurre cuando P se encuentra en la circunferencia ω, circunscrita al △ABC. La recta se denomina recta de Simson del punto P, aunque parece que Simson nada tuvo que ver con ella, sino que fué descubierta por Wallace.

Pulsa el botón [P en ω] para ver la recta de Simson de un punto P cualquiera en ω. Puedes parar/activar la animacíon con el control de la esquina inferior izquierda y desplazar manualmente el punto P. Conviene desmarcar la casilla [Conj. Isogonal], una vez comprobado lo dicho en el párrafo anterior.

¿La demostración de la igualdad de los círculos pedales de los puntos P y Q está completa?

¿Cúal es la recta de Simson que corresponde a los vértices de △ABC?

¿Que ángulo gira la recta de Simson cuando P da una vuelta completa a ω?

¿Para que puntos son sus rectas de Simson perpendiculares?

¿Cuál es la recta de Simson de cada vértice?

¿Los lados son las rectas de Simson de algún punto?

¿Para que puntos las rectas de Simson pasan por el punto medio cada lado?

En general, cuando P gira un ángulo φ cualquiera a lo largo de ω, la recta de Simson rota un ángulo φ/2. Las rectas de Simson correspondientes a puntos diametralmente opuestos, son perpendiculares y se cortan en la circunferencia de los nueve puntos c9p del △ABC.

Marca la casilla [Deltoide de Steiner] para ver esa curva, que es la envolvente de las rectas de Simson: la tangente en cada uno de sus puntos es una recta de Simson del △ABC, y viceversa, todas las rectas de Simson de △ABC son tangentes a la deltoide. Es una hipocicloide, concretamente la curva descrita por un punto de una circunferencia de radio r = R/3, cuando rueda sin deslizar por el interior de una circunferencia de radio R. El radio r es el mismo que el de la circunferencia de los nueve puntos c9p, a la que es tritangente y concéntrica.

Es sorprendente la simetría de la envolvente, simetría rotacional de orden 3, a pesar de que el triángulo no presente en general ninguna simetría. Sorprendente asimismo que el triángulo equilátero formado por sus vértices tiene lados paralelos a los del triángulo de Morley del △ABC, aunque con orientación opuesta y sus centros en general no coinciden (los vértices del triángulo de Morley son las intersecciones de las rectas más próximas a cada lado de las que dividen a los ángulos del △ABC en tres partes iguales).

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 15 diciembre 2016. Creado con GeoGebra