Elipses de Steiner de un triángulo

La elipse que pasa por los tres vértices de cualquier △ABC y tiene centro en el baricentro G es la elipse exterior de Steiner del triángulo, S_e. La que es tangente a los tres lados y tiene el mismo centro, es la elipse interior de Steiner, S_i. Son respectivamente la elipse de menor área circunscrita al triángulo y de mayor área inscrita en él.

Se trata de un problema claramente afín, pues en una transformación afín se conservan los cocientes de distancias entre puntos alineados (su razón simple), y como consecuencia de ello la alineación de puntos, y el paralelismo y concurrencia de rectas. En particular, las cónicas se transforman en cónicas del mismo tipo, con el mismo número de puntos impropios, por lo que la imagen de una elipse es otra elipse. Como por otras parte todos los triángulos son equivalentes bajo transformaciones afines, puede estudiarse el problema en cualquier triángulo, en particular en el equilátero. En particular se ve que sus ejes están alineados y que los semiejes de S_e son el doble que los de S_i, por lo que su superficie es cuatro veces mayor.

Explícitamente, la afinidad que transforma cualquier triángulo en equilátero puede considerarse compuesta de un deslizamiento paralelo a un lado, al que deja invariante, y que transforme el triángulo en isósceles, seguida de una contracción perpendicular a ese lado, que transforme al triángulo en equilátero. La primera no cambia el valor de ninguna área, por el principio de Cavallieri, y la segunda cambia todas las áreas en la misma proporción. Pulsar el botón [→ △ equil.] para efectuar esta transformación.

Pueden desplazarse los vértices A y B en cualquier momento, y C cuando el triángulo no es equilátero.

Si los vértices del triángulo son los afijos de las raíces (complejas) de un polinomio de tercer grado P(z), con coeficientes en general complejos, los focos de S_i son las raíces de P'(z). Si a, b y c son las raíces, tenemos que:

P(z)=(z-a)(z-b)(z-c)=z³-(a+b+c)z²+(ab+bc+ca)z-abc
P'(z)=3z²-2(a+b+c)z+(ab+bc+ca), P'(z)=0 ⇒
z = ((a+b+c)±√(a²+b²+c²-(ab+bc+ca)))/3={p,q}

son los afijos de los focos S_i.

Es un caso particular del Teorema de Gauss-Lucas, que nos dice que las raíces de la derivada de un polinomio están en la cápsula convexa de las raíces del polinomio. Algo así como una generalización del Teorema de Rolle para polinomios complejos ...

La raíz de la derivada segunda

P''(z)=6z-2(a+b+c)

es g=(a+b+c)/3, cuyo afijo es justamente G, el baricentro del triángulo.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 10 febrero 2021. Creado con GeoGebra