Los conjugados isogonales comparten circunferencia pedal

Si P y Q son conjugados isogonales respecto de △ABC, comparten su circunferencia pedal ω, que tiene centro en el punto medio M de P y Q.

En la demostración se usa la potencia de los vértices respecto a una circunferencia. Nótese que no es suficiente ver que cada conjunto de cuatro puntos son concíclicos, podría tratarse de tres circunferencias distintas. Que tengen el mismo centro M, intersección de las mediatrices de los segmentos determinados por las proyecciones {P_a, Q_a}, {P_b, Q_b} y {P_c,Q_c} de P y Q, y por tanto punto medio de estos, garantiza que se trata de la misma circunferencia.

Otra propiedad interesante de los conjugados isogonales es que los simétricos {P'_a, P'_b, P'_c} de P respecto de los lados del triángulo están en una misma circunferencia ω_P de centro Q, homotética de ω respecto de P con razón 2. Y recíprocamente, los simétricos de Q están en una circunferencia ω_Q de centro P, homotética de ω respecto de Q con razón 2.

Pueden moverse los vértices del triángulo, así como el punto P. Si este es exterior, y por tanto también Q, la figura puede resultar algo confusa, pero los resultados subsisten.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 7 agosto 2026. Creado con GeoGebra