Conjugados isogonales

Las rectas isogonales respecto a los lados de un triángulo ABC de las que unen un punto P con sus vértices son, en general, concurrentes. Al punto Q en que concurren se le llama conjugado isogonal de P respecto del triángulo ABC.

Recordando la caracterización de rectas isogonales, distancias inversamente proporcionales, es inmediato ver que cualquiera de ellas pasa por el punto en que se cortan las otras dos. Si resulta que dos de ellas no se cortan por ser paralelas, la tercera también lo es (concurren las tres en un punto del infinito del plano proyectivo).

Nota: Si los puntos P o Q se hallan en el exterior de la circunferencia circunscrita ω, algunos de los ángulos que aparecen en la figura son obtusos. Como se trata de ángulos formados por rectas, a estos efectos son totalmente equivalentes un ángulo y su suplementario, por lo que aún en estos casos, los ángulos que forman los lados con las rectas que unen los puntos P y Q con los vértices son iguales.

¿Cuál será el conjugado isogonal del Incentro I?

¿Hay otros puntos autoconjugados?

¿Y del Ortocentro H y Circuncentro M?

¿Y el de un punto perteneciente a un lado o su prolongación, pero distinto de los vértices?

¿Y si P esta situado en alguno de los vértices?

¿Que ocurre si P esta situado en la circunferencia ω?

Las tres rectas que contienen a los lados y la circunferencia ω dividen al plano en 10 regiones: el interior del triángulo, tres ángulos opuestos en cada vértice a los del triángulo, tres segmentos circulares comprendidos entre los lados y la circunferencia ω y otras tres regiones ilimitadas definidas por las prolongaciones de dos lados y el arco de circunferncia ω comprendido entre ellos. ¿En que región estará el conjugado isogonal de un punto situado en cada una de ellas?

Intenta justificar correctamente todas las respuestas.

El conjugado isogonal del Baricentro es el punto de Lemoine L, donde concurren las SIMEDIANAS (SIMEtricas_meDIANAS), las isogonales de las medianas. Un punto asimismo con interesantes propiedades.

Los pies de las perpendiculares a los lados por P y Q están en una misma circunferencia λ. Es decir, P y Q comparten circunferencia pedal. Cuando P es el Ortocentro o el Incentro, ¿puedes identificar ésta circunferencia y su centro? ¿Qué ocurre cuando P está en ω?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 16 mayo 2016. Creado con GeoGebra