Teorema del hexágono de Pascal

'Si los seis vértices de un hexágono se hallan una cónica, los puntos de corte de los lados opuestos están alineados.'

Por hexágono se entinede la figura formada por seis puntos (vértices) dados en orden cíclico y las seis rectas (lados) que conectan cada uno con el siguiente. Este es un teorema proyectivo, por lo que deben tenerse en cuenta los puntos y recta impropios (o del infinito).

La recta t que contiene a los tres puntos de intersección P, Q y R se conoce como recta de Pascal de la configuración de puntos. No solo depende de los vértices, sino del orden que tienen en el hexágono.

Se trata del dual proyectivo del teorema de Brianchon.

Pueden desplazarse los cinco puntos blancos, que definen la cónica, y los seis puntos A, B, C, D, E y F.

¿Que ocurre si un par de lados opuestos son paralelos?

¿Y si lo son dos pares de lados opuestos?

Se puede mostrar la cuadrícula para facilitar la obtención de lados exactamente paralelos.

Puede verse una demostración para el caso de que la cónica sea una circunferencia en «Demostración del Teorema de Pascal en la circunferencia».

El Teorema de Pascal es una generalización del de Pappus-Pascal, pues un par de rectas paralelas o secantes son una cónica degenerada, como puede comprobarse al disponer tres de los puntos blancos en una recta. Aunque la demostración se perdió, Pascal demostró el teorema para un círculo. La generalización a una cónica cualquiera es inmediata proyectando toda la figura desde un punto exterior a su plano y cortándola por otro plano cualquiera.

El teorema de Pascal nos permite conocidos 5 puntos de una cónica, hallar infinitos más. Para verlo, puede activarse la casilla 'Sexto punto' y mover el deslizador paso a paso, o utilizar las herramientas disponibles en la barra superior:

Si se prescinde del vértice F, basta tomar un punto cualquiera en uno de los lados incidentes en el que sera el vértice opuesto al nuevo punto. como por ejemplo R' en la recta CD. Hallamos la nueva recta de Pascal t', que pasa por P y R' y corta al otro lado incidente en C en el punto Q'. El nuevo punto F' en la elipse es entonces la intersección de las rectas AR' y EQ'.

Cuando R' recorre la recta CD, F' recorre la cónica, que está pues completamente determinada por cinco de sus puntos, como plasma el propio logo de GeoGebra.

Si se hacen coincidir tres pares de vértices consecutivos: A=B, C=D y E=F, las rectas que los unen se transforman en tangentes a la cónica, y vemos así estas tangentes cortan a los lados opuestos en tres puntos alineados. Para el caso en que la cónica sea la circunferencia circunscrita al triángulo, se tiene el Teorema de las tres tangentes, fácilmente demostrable a partir del Teorema de Menelao.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 25 agosto 2016. Creado con GeoGebra

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