Teorema de las tres tangentes

Las tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices se cortan con la prolongación del lado opuesto en tres puntos que están alineados.

La demostración se basa en el Teoorema de Menelao. Cuando se consideran segmentos alineados, estos deben tomarse con signos opuestos si tienen sentidos contrarios.

Pueden desplazarse lo vértices A, B y C del triángulo, pero si cambia la posición relativa de los puntos implicados, alguna relaciones deberían adaptarse. El resultado, sin embargo, permanece en cualquier caso.

Si una tangente resultase paralela al lado opuesto, porque el vértice correspondiente es el punto medio de uno de loa arcos determinados por los otros dos en la circunferencia circunscrita /triángulo isósceles), el correspondiente punto de intersección está en el infinito, pero la recta sigue existiendo.

Si se trata de un triángulo equilátero, los tres puntos P, Q y R están en la recta del infinito.

En general es cierto para cualquier circumcónica del triángulo, como se demuestra muy fácilmente a parir del Teorema de Pascal, haciendo coincidir tres pares de vértices consecutivos.

Ignacio Larrosa Cañestro (grupo XeoDin), 7 julio 2021. Creado con GeoGebra