Teorema de Pappus-Pascal. Eje de proyectividad

'Si los seis vértices de un hexágono se hallan alternativamente en dos rectas, los puntos de corte d los lados opuestos están alineados.'

Por hexágono se entinede la figura formada por seis puntos (vértices) dados en orden cíclico y las seis rectas (lados) que conectan cada uno con el siguiente. Este es un teorema proyectivo, por lo que deben tenerse en cuenta los puntos y recta impropios (o del infinito).

En la figura el hexágono ABCDEF tienen los vértices A, C y E en la recta r, y los B, D y F en la recta s. Entonces los tres pares de lados opuestos, cada par igualmente coloreado, se cortan en los puntos P, Q y R que se hallan en la misma recta t.

El orden de los puntos en cada recta es indiferente. Con la colocación inicial, los puntos de intersección aparecen entre las rectas r y s, pero esto no es necesario.

El papel de las rectas r, s y t es simétrico: si se considera el hexágono APEQCR, con sus vértices en r y t, los puntos de intersección D, B y F de sus lados opuestos se encuentran en la recta s.

Pueden desplazarse los cuatro puntos blancos, que definen las rectas, y los puntos A, B, C, D, E y F.

¿Que ocurre si un par de lados opuestos son paralelos?

¿Y si lo son dos pares de lados opuestos?

Se puede mostrar la cuadrícula para facilitar la obtención de lados exactamente paralelos.

La recta t es el eje de la proyectividad que transforma la serie {A, E, C} en la {D, B, F}. Si se tienen dos pares de puntos homólogos como (A, D) y (G, H), el punto de intersección de las rectas AH y GD también se encuentra en t. Esto permite hallar el homólogo H de cualquier punto G en una proyectividad definida por otros tres {A, E, C} y sus homólogos {D, B, F}. para verlo puede activarse la casilla 'Nuevo par de puntos homólogos', o construir un nuevo par con las herramientas expuestas.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 22 agosto 2016. Creado con GeoGebra