Teorema de Menelao

P, Q y R, puntos de las rectas que contienen a los lados AB, BC y CA del triángulo ABC , están alineados si y solo si

(AR/RB)(BD/PC)(CQ/QA) = -1

donde se consideran segmentos orientados que, siempre entre segmentos paralelos, tienen el mismo signo si tienen igual sentido y signo contrario en otro caso. Concretamente, si un punto es exterior al lado correspondiente, los dos segmentos tienen sentidos contrarios y el cociente es negativo. Si los tres puntos están alineados, o bien uno de ellos es exterior al lado, o los son los tres. Los puntos P, Q y R no deben coincidir con los vértices, y la recta que definen no puede ser paralela a ninguno de los lados.

En la figura pueden desplazarse los vértices del triángulo y los puntos P y Q, quedando entonces determinado el R.

Moviendo el deslizador se ve la demostración en el sentido:

P, Q, R alineados ⇒ (AR/RB)(BP/PC)(CQ/QA) = -1

Para ver el recíproco,

(AR/RB)(BP/PC)(CQ/QA) = -1 ⇒ P, Q, R alineados

basta considerar el punto R' en que la recta PQ corta al lado AB. Por el teorema directo, ya que P, Q y R' están alineados,

(AR'/R'B)(BP/PC)(CQ/QA) = -1

Que comparando con la hipótesis, lleva a AR/RB = AR'/R'B ⇒ R' = R.

Menelao de Alejandría, matemático y astrónomo griego que trabajó en Alejandría y en Roma (70-140 d.c.), demostró este teorema para triángulos esféricos, como si fuese cosa conocida para triángulos rectílineos, de lo que no se conserva noticia. Es notable que, pese a estar íntimamente relacionados entre sí, pasaran 17 siglos entre la demostración de los teoremas de Menealo y Ceva.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 28 octubre 2016. Creado con GeoGebra