Circuncónicas de un triángulo

Se muestran las cónicas circunscritas Ω a un △ABC en función de cual sea su centro M. Dado el centro, Ω es única pues debe pasar por los tres vértices y sus simétricos respecto del centro. Si el centro se aleja hasta un punto del infinito del plano proyectivo, Ω es igualmente la única que pasa por los tres vértices y tiene un eje con la dirección dada por tal punto del infinito (ver Parábola circunscrita a un triángulo y su construcción).

Pulsando cada uno de los nueve botones se modifica la movilidad del punto M. El modo seleccionado queda en rojo.

El punto M se puede desplazar arbitrariamente después de pulsar el botón [Libre]. Observese que si M está en el interior del triángulo medial o de los ángulos opuestos a él por sus vértices, Ω es una elipse. En el interior de las otras zonas en que las rectas s_a, s_b y s_c dividen al plano, Ω es una hipérbola. Si está en estas rectas, se trata de un par de rectas paralelas, y si esta sobre las rectas de los lados, un par de rectas secantes. Los puntos medios de los lados son excepcionales: solo quedan 4 puntos distintos para determinar Ω, por lo que hay una infinidad de ellas. Si M es un punto del infinito, como se ha dicho antes, Ω es una parábola .

Si M es el baricentro, Ω es la circunelipse de Steiner, la de menor área circunscrita al triángulo. Cuando Ω es una elipse, se expresa el cociente, siempre ≥ 1, entre su área y la de la circunelipse de Steiner.

Si M está en el circuncentro, Ω es trivialmente la circunferencia circunscrita. Que si el △ABC no es equilátero, tiene mayor área que la circunelipse de Steiner.

Si M está en la circunferencia de los 9 puntos, Ω es una hipérbola equilátera que pasa por el ortocentro de △ABC. El recíproco también es cierto, cualquier hipérbola equilátera que pase por los tres vértices de un triángulo, tienen su centro en la circunferencia de los nueve puntos y pasa por el ortocentro. El cuarto punto de corte Ω con la circunferencia circunscrita es el simétrico del ortocentro respecto de M, puesto que la circunferencia circunscrita y la de los nueve puntos son homotéticas con razón 2 respecto del ortocentro.

Si se pulsa [Recta r_G], M se desplazará por una recta que pasa por el baricentro y cuya dirección puede cambiarse moviendo el punto blanco de su intersección con la circunferencia circunscrita. Puede observarse así como la elipse/hipérbola se parece cada vez más a una parábola, para luego volver a elipse hipérbola, en función de la orientación de r_G.

Cuando M puede desplazarse por una línea, puede parase la animación y desplazar al punto M con el ratón, igual que que el punto M^→, que representa al correspondiente punto del infinito.

La casilla [Cuadrícula] permite ver la cuadrícula y posicionar mejor el punto M cuando es el caso. Se puede desplazar el dibujo y hacer zoom a conveniencia, así como modificar los vértices del △ABC.

(Dedicado a Bruno, mi primer nieto, que nace hoy)

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 27 febrero 2024. Creado con GeoGebra