Hipérbolas equiláteras circunscritas a un triángulo

Las hipérbolas equiláteras circunscritas a un triángulo tABC pasan por su ortocentro H y tienen su centro en la circunferencia de los nueve puntos de tABC, c9P. El cuarto punto, además de los vértices, en que la hipérbola corta a la circunferencia circunscrita es el simétrico de H respecto del centro Q de la hipérbola.

Sea Q(P) el centro de la hipérbola circunscrita h_P al triángulo y que pasa también por el punto P. Entonces, Q(I)=T y Q(I_A) = T_A. Es decir, la que pasa por el centro de la circunferencia inscrita/exinscrita, tiene su centro en el punto de contacto de esta circunferencia con c9P.

Se pueden desplazar los vértices A, B y C. También puede pararse la animación y mover el punto P en la circunferencia circunscrita mediante el deslizador.

Q(A), Q(B), Q(C) y Q(H) están indefinidos. Si P es otro punto cualquiera de un lado, la hipérbola degenera en el lado y la altura correspondiente, con lo que Q(P) es el pie de la altura sobre el lado.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 11 febrero 2013. Creado con GeoGebra