Parábola dados tres puntos y la dirección del eje (regla y compás)

La construcción se basa en el Teorema de Pascal de la geometría proyectiva, que afirma que los tres pares de lados opuestos de un hexágono inscrito en una cónica se cortan en tres puntos situados en una misma recta, la recta de Pascal del hexágono.

El hexágono esta determinado por los tres puntos A, B y C dados, los puntos S y U coincidentes con C y A respectivamente (por lo que los lados correspondientes degeneran en las tangentes t_C y t_A a la parábola en C y A), y el punto del infinito T_v, correspondiente a la dirección del vector v.

Se utilizan tres resulados bien conocidos de las parábolas:

i) Las tangentes en los extremos de una cuerda se cortan en el eje secundario correspondiente a su punto medio
ii) La recta simétrica de un eje secundario respecto a la tangente en el punto en que corta a la parábola pasa por el foco (propiedad óptica fundamentel de la parábola)
iiI) Las distancias de cualquier punto de la parábola al foco y a la directriz son iguales

Pueden desplazarse los puntos A, B y C y el extremo del vector v.

Si se utiliza la herramienta de GeoGebra 'Cónica por cinco puntos', basta con hallar dos puntos extra utilizando que cada eje secundario es un diámetro que biseca a todas las cuerdas paralelas.

Por otra parte, si se pueden utilizar coordenadas, el polinomio interpolador da la respuesta inmediata, que en GeoGebra se obtiene con Polinomio({A, B, C}).

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 21 febrero 2021. Creado con GeoGebra