Tercer problema de Thébault

Por el vértice C de un triángulo ABC se traza una recta CD, cortando al lado AB en D. I es el centro de la circunferencia inscrita del triángulo ABC. Sea P el centro del círculo que toca DB, DC en E, F, y el circuncírculo de ABC, y sea Q el centro de otro círculo que toca a DA, DC en G, H y el circuncírculo de ABC. Entonces P, I y Q están alineados.

La demostración se basa en el Lema de Sawayama, que garantiza que los puntos E, F, e I de un lado, y G, H e I del otro, están alineados. Forma parte de un enunciado más general, que trata de los ocho círculos tangentes a dos rectas secantes y a un círculo que contiene a su punto de intersección.

Se emplea también el Teorema de Pappus, que afirma que si se tienen tres pares de puntos situados en dos rectas, los puntos en que se cortan las tres rectas que unen los tres pares de puntos, están alineados. Aquí G, D y E están en el lado AB y G', D' y E' en la recta del infinito del plano, pues son intersecciones cada uno de ellos de rectas paralelas.

La demostración aquí expuesta es de Jean-Louis Ayme.

Es con mucho el más díficil de los asi llamados tres problemas de Thébault. Los otros dos, bastante más sencillos, son:

1^er Problema de Thébault

2º Problema de Thébault

Victor Michael Jean-Marie Thébault (1882-1960) fue un matemático francés, especialmente interesado en la Teoría de Números y la Geometría, que planteó y resolvió numerosos problemas en muchas revistas matemáticas.

Y. Sawayama fue un profesor de la Escuela Militar Central de Tokio que publicó este teorema en el artículo: A New Geometrical Proposition, The American Mathematical Monthly, Vol. 12, No. 12. (Dic. 1905), pp. 222-224.

Jean-Louis Ayme es un matemático contemporáneo, gran estudioso de la geometría del triángulo.

Pappus de Alejandría (c. 290 – c. 350) fue uno de los últimos grandes matemáticos griegos de la Antigüedad.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 5 mayo 2022. Creado con GeoGebra