Lema de Sawayama

Sea D un punto de un lado AB del triángulo ABC, c' su circunferencia circunscrita e I su incentro. Entonces, si L y M son los puntos de contacto de la circunferencia c inscrita en el triángulo mixtilíneo formado por los segmentos CD, DB y el arco BC, los puntos L, M e I están alineados.

En el caso que D = A se trata del teorema de Nixon (nada que ver con el que fuera presidente de EEUU): R. C. J. Nixon, Question 10693, Reprints of Educational Times, London (1863-1918) 55 (1891) 107. En este caso, I es el punto medio del segmento LM y está alineado con A y el centro de c.

Ésta demostración se debe a Oleg Golberg. Se usa el círculo de diámetro el segmento que une el incentro I con el centro de la circunferencia ex-inscrita I_C, que pasa por A y B y tiene entro en el punto medio M' del arco AB (Círculo incentro-excentro).

El Teorema de Sawayama es mucho más amplio y hace referencia a los ocho círculos tangentes a dos secantes y a un círculo que contiene a su intersección. Y. Sawayama fué un profesor de la Escuela militar Central de Tokio que publicó este teorema en el artículo: A New Geometrical Proposition, The American Mathematical Monthly, Vol. 12, No. 12. (Dic. 1905), pp. 222-224.

En un artículo de Jean-Louis Ayme hay otra demostración del lema y del teorema de Thébault, así como una documentada historia del tema.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 4 mayo 2022. Creado con GeoGebra