Teorema de Van Aubel y 1er problema de Thébault

Si sobre los lados de un cuadrilátero cualquiera, incluso cóncavo o cruzado, se construyen cuadrados en el mismo sentido, los segmentos que unen los puntos medios de cuadrados sobre lados opuestos son iguales y perpendiculares. El cuadrilátero PQRS es por tanto siempre ortodiagonal. Pueden desplazarse los cuatro vértices A, B, C y D de cualquier forma.

Si el cuadrilátero ABCD es un paralelogramo, los segmentos PR y QS se cruzan en M por simetría, y PQRS es un cuadrado (1er problema de Thébault). Marcar la casilla 'Paralelogramo' para verlo. El punto C queda en este caso determinado por los otros tres.

La demostración se basa en el Teorema de Finsler-Hadwiger (ver 'Triángulos entre cuadrados'), que nos asegura que los segmentos MQ y MR son iguales y perpendiculares, e igualmente para MS y MP, donde M es el punto medio de la diagonal BD del cuadrilátero. Los triángulos △QMS y △RMP se obtienen entonces uno de otro mediante un giro de 90º en torno a M, de lo que se deduce el resultado.

También se puede demostrar muy fácilmente utilizando números complejos.
Llamando al número complejo igual que a su afijo, pero con minúsculas, tenemos que:

p = (a + b)/2 + (-i)*(b – a)/2
q = (b + c)/2 + (-i)*(c – b)/2
r = (c + d)/2 + (-i)*(d – c)/2
s = (d + a)/2 + (-i)*(a – d)/2

Entonces,

PR = r – p = (c + d – a – b)/2 + i*(b + c – a – d)/2
QS = q – s = (a + d – b – c)/2 + i*(c + d – a – b)/2

Claramente QS = i*PR ⇒ |QS| = |PR| y ambos segmentos son de igual longitud y perpendiculares.

Si se quieren los cuadrados construidos hacia adentro, no hay más que sustituir i con -i en todas partes.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 8 marzo 2017. Creado con GeoGebra

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