Teorema de la razón de Steiner

En un △ABC, los segmentos m = BD y n = CE que dos líneas isogonales AD y AE determinan en el lado opuesto a verifican que m/(a-m)·(a-n)/n = (c/b)².

v_a es la bisectriz del ángulo A. Las líneas isogonales forman ángulos iguales con la bisectriz y, por tanto, también con los lados.

La demostración utiliza el Teorema del Seno, así como el hecho de que ángulos suplementarios tienen senos iguales.

Si D es el punto medio del lado a, la recta AE es la simediana del lado a, m = a - m y queda (a-n)/n = (c/b)². Es decir, la simediana determina en el lado opuesto segmentos proporcionales a los cuadrados de los lados adyacentes. Recuerdese que la bisectriz determina segmentos proporcionales a los lados adyacentes.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 20 mayo 2024. Creado con GeoGebra