Las simedianas y el punto de Lemoine

Las simedianas de un triángulo son las rectas simétricas de las medianas respecto de la bisectriz que pasa por el mismo vértice. Las medianas y las simedianas son entonces isogonales respecto a los lados del triángulo. De ello se deduce (marcar la 1ª casilla de verificación), que la distancia de cualquiera de sus puntos a los lados adyacentes son proporcionales a la longitud de estos.

Considerando el punto en que la simediana corta al lado opuesto, y las áreas de los triángulos en los que divide al triángulo △ABC, se concluye que el lado queda dividido en segmentos proporcionales a los cuadrados de los lados adyacentes. Como es sabido, la bisectriz divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los lados adyacentes (marcar la 2ª casilla de verificación).

El punto de Lemoine es el punto en que se cortan las tres simedianas. Es por tanto el conjugado isogonal del baricentro. Se caracteriza porque sus distancias a los tres lados son proporcionales a estos (marcar la 3ª casilla de verificación).

¿Que transformaciones geométricas llevan los segmentos p y q a s y t respectivamente?

¿El punto de Lemoine puede ser exterior al triángulo?

Utiliza las herramientas de la parte superior, incluidas las de zoom, para costruir cuadrados sobre cada lado hacia el exterior del triángulo y traza las tres rectas que pasan por los vértices de cada cuadrado distintos de A, B y C. Si estas rectas se cortan en los puntos X, Y y Z, ¿cuáles son las simedianas del △XYZ? ¿Puedes justificarlo?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 26 noviembre 2016. Creado con GeoGebra