Recta de Euler perpendicular a la bisectriz

La recta de Euler de un triángulo es perpendicular a la bisectriz de uno de sus ángulos si y solo si este es de 60°.

1) ∠A = 60° ⇒ MH perpendicular a b_A o △ABC es equilátero

El circuncentro M y el ortocentro H son conjugados isogonales, por lo que los segmentos AH y AM forman ángulos iguales con la bisectriz b_A. Sin necesidad de recurrir al concepto de conjugado isogonal, es fácil ver que estos ángulos son iguales, pues si F es el pie de la altura h_C, los ángulos ∠B y ∠AHF son iguales por ser sus lados respectivamente perpendiculares, por lo que el ángulo ∠FAH es el complementario del ∠B. Por otra parte, en la circunferencia w circunscrita al △ABC, el ángulo central ∠CMA es igual al doble del inscrito ∠B, por lo que los dos ángulos iguales del triángulo isósceles AMC miden ½ (180° - 2∠B) =90° - B. Si N es el punto medio de M y H, se deduce que los ángulos ∠HAN y ∠MAN son iguales.

Si E es el pie de la altura h_B, el △AEF es semejante al △ABC, pues lo son los tres que delimita el triángulo órtico, cuyos vértices son los pies de las alturas del triangulo ABC. Esto se establece fácilmente considerando las circunferencias que tienen a cada lado como diámetro y que, por tanto, pasan por los pies de las alturas sobre los otros lados.

Entonces, ∠A = 60° ⇒ AF = ½ AC (y que AE = ½ AB, pero por lo anterior basta con una de las dos). La circunferencia w_A circunscrita al triángulo AEF tiene entonces la mitad de diámetro que la w. Es decir, que el diámetro de w_A tiene la misma mágnitud que el radio MA de w. Pero AH es un diámetro de w_A puesto que en el cuadrilátero AEHF los ángulos ∠AFH y ∠AEH son rectos.

Por tanto AH = AM, lo que junto a la igualdad de los ángulos que forman estos segmentos con la bisecriz hacen al △AMH isósceles y MH perpendicular a b_A, salvo que M=H y el △ABC sea equilátero.

2) MH perpendicular a b_A ⇒ ∠A = 60°

Se tiene que el triángulo AMH es isósceles, dada la isogonalidad de M y H, por lo que AM = AH. Pero AH es el diámetro de w_A, por lo que la razón de semejanza entre los triángulos ABC y AEF es ½, con lo que AF = ½ AC y ∠A = 60°.


El punto N es el centro de la circunferencia de los nueve puntos, que es la circunferencia pedal de M y H (la circunferencia pedal de un punto pasa por los pies de las perpendiculares a los lados trazadas por el punto). Esto ocurre siempre con cualquier par de puntos conjugados isogonales: comparten circunferencia pedal, cuyo centro es el punto medio de los dos.

Si el ángulo es de 60°, el punto N también se halla en la circunferencia w_A, al ser recto el ángulo ∠ANH.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 18 mayo 2016. Creado con GeoGebra