El triángulo órtico

El triángulo órtico de un triángulo acutángulo es el que tiene como vértices los pies de las alturas. Es posible definirlo para triángulos obtusángulos, pero entonces ya no es interior al triángulo y pierde algunas de sus interesantes propiedades. Para triángulos rectángulos, colapsa en un segmento (la altura sobre la hipotenusa). Desplaza el deslizador azul poco a poco para ver razonadamente algunas de sus propiedades.

El triángulo órtico tiene otra importante característica: es el triángulo de perímetro mínimo inscrito en el triángulo de referencia. Es decir, su perímetro es el recorrido mínimo que toca una vez cada uno de los tres lados del triángulo. Esto es una consecuencia de que las alturas del triángulo ABC sean sus bisectrices.

También es homotético con el triángulo formado por las tangentes a la circunferencia circunscrita en los vértices, así como con el determinado por las tangentes exteriores, distintas de los lados, de las circunferencias ex-inscritas al triángulo. Estas circunferencias son las tangentes a un lado y a las prolongaciones de los otros dos. El centro de homotecia con este último es el llamado punto de Clawson del triángulo.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 28 Agosto 2013. Creado con GeoGebra