Cuadrilátero orbital de área máxima

Un cuadrilátero orbital de un cuadrilátero [ABCD] es el descrito por una partícula que rebota indefinidamente en los mismos puntos de los cuatro lados de [ABCD]. Todos tienen sus lados correspondientes paralelos e igual perímetro, mínimo entre todos los inscritos.

De ellos, el que tiene área máxima es el cuadrilátero órtico, [EFGH] en la figura, cuadrilátero pedal del punto de corte S de las diagonales. Es decir, que tiene como vértices las proyecciones de S sobre los lados. Para que exista, [ABCD] debe ser cíclico y contener a su circuncentro.

Para demostrar que su área es máxima, entre los cuadriláteros orbitales, veamos que la suma de las áreas de los cuatro triángulos residuales S_A = △AEH, S_B = △BFE, S_C = △CGF y S_D = △DHG es mínima.

Para ello tomamos cualquier otro cuadrilátero orbital [JKLM] y expresamos las áreas de us cuatro triángulos residuales en función de las anteriores. Tomamos x = |EJ|, la distancia con signo entre E y J, considerada positiva, por ejemplo, si J está entre E y B. Aplicando el teorema del seno y el teorema de Tales, puesto que |EF| y |JK| son paralelos,vemos que la relación entre |EJ| y |FK| es independiente de las posición de J. Igualmente con |FK| e y = |GL|. Nos queda que y = kx, con k = senα/senγ, los ángulos constantes formados por los lados de los cuadriláteros orbitales con los del [ABCD]. Como los triángulos residuales correspondientes a todos los cuadriláteros orbitales son semejantes, sus áreas varían como el cuadrado de las longitudes de sus lados correspondientes, a₁ y a₁ + x en el caso de S_A: S_A(x) = ((a₁ + x)/a₁)² S_A.

Por tanto el área S(x) conjunta de estos triángulos residuales varía cuadráticamente con x. Solo queda determinar que para x = 0 se tiene un mínimo. Dividiendo la derivada en x = 0 por senα, distinto de cero, nos queda la suma alternada de los lados de [EFGH]. Pero esta suma es cero, pues el cuadrilátero órtico es circunscriptible y por tanto a' + c' = b' + d'. Como la derivada segunda es positiva, se trata de un mínimo y, por tanto el área del cuadrilátero orbital es máxima cuando x = 0. Es decir, cuando se trata del cuadrilátero órtico.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 31 octubre 2026. Creado con GeoGebra