Cuadrilátero órtico de un cuadrilátero inscrito

Si [ABCD] es un cuadrilátero cíclico que contiene al centro O de su circunferencia circunscrita, todos los ángulos entre sus diagonales y sus lados son agudos, pues abarcan un arco menor que media circunferencia. Por tanto, las proyecciones de punto S de corte de las diagonales sobre los lados está en el interior de estos, y no en sus prolongaciones. El cuadrilátero [EFGH] formado por estas proyecciones será entonces convexo.

Si [ABCD] no contuviese a su circuncentro, algunos de los puntos {E, F, G, H} estarían sobre las prolongaciones de los lados, y el cuadrilátero [EFGH] no estaría inscrito en el [ABCD].

Marcar la casilla [Dem] para ver que el punto S es precisamente el incentro de [EFGH]. Este cuadrilátero es por tanto un Cuadrilátero orbital del cuadrilátero [ABCD], por lo que tiene perímetro mínimo, y además es circunscriptible (tangencial).

Por similitud con el caso triangular, podemos llamarlo cuadrilátero órtico del [ABCD], aunque sería más preciso llamarlo cuadrilátero pedal del punto de corte de las diagonales.

Otra particularidad del cuadrilátero órtico es que tiene la máxima área entre todos los cuadriláteros orbitales, que tienen perímetro mínimo y sus lados correspondientes paralelos.

El cuadrilátero formado por los centros OA, OB, OC y OD de las circunferencias que tienen como diámetros los segmentos en que se dividen las diagonales, marcar la casilla [Centros], forman un cuadrilátero homotético del [ABCD] con centro S y razón ½. Por tanto, estos cuatro puntos están en una circunferencia de mitad de radio que la circunscrita y con centro en el punto medio L de O y S.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 30 octubre 2026. Creado con GeoGebra