Cuadriláteros orbitales de en un cuadrilátero convexo

En un cuadrilátero convexo [ABCD] se lanza una bola de billar desde un punto E del lado AB. ¿En que condiciones describirá una órbita cíclica EFGH indefinidamente, recorriendo en orden los cuatro lados?

Al cuadrilátero [EFGH] así determinado, podemos llamarlo cuadrilátero orbital del cuadrilátero [ABCD].

Los ángulos de incidencia y reflexión en cada uno de los puntos E, F, G, y H deben ser iguales. La igualdad de los ángulos en F, G y H implica que si se refleja el cuadrilátero sucesivamente en los cuatro lados, los segmentos EF, FG₁, G₁H₂ y H₂E₃ quedan alineados.

De la igualdad de los ángulos en E, se deduce que AB y A₂B₂ deben ser paralelos. Si la órbita es cerrada y simple, es un cuadrilátero simple, se tiene que A₂E₃ = AE. Esto implica que la longitud de la órbita, el perímetro del cuadrilátero [EFGH], es constante y mínimo cualquiera que sea el punto de inicio E en el lado AB, siempre que la órbita pueda completarse en el orden cíclico.

Igualmente la dirección del segmento EF queda determinada por la de los lados AA₂ y BB₂ del paralelogramo [ABB₂A₂]. Esto hace que los lados del cuadrilátero [EFGH] permanezcan paralelos a si mismos al variar E sobre el lado AB, con la misma restricción que para el perímetro.

El producto de dos simetrías axiales respecto a ejes secantes es equivalente a un giro en torno al punto de intersección de los ejes y amplitud igual al doble del ángulo que forman estos (Producto de simetrías axiales). Por tanto el segmento A₂B₁ es el resultado de girar el segmento AB un ángulo 2γ respecto al punto C. Esto se puede apreciar fácilmente con el auxilio de las dos diagonales reflejadas CA₁ y CA₂.

A su vez, A₂B₂ es el producto de un giro de A₁B₁ en torno al punto A₂ un ángulo 2α, en el mismo sentido que el anterior.

Por tanto A₂B₂ es el resultado de girar un ángulo 2α + 2γ el segmento AB. Puesto que estos segmentos son paralelos y α, γ < 180°, este ángulo total es de 360° y α + γ = 180°, por lo que el cuadrilátero [ABCD] debe ser necesariamente cíclico.

Esta es una condición necesaria para la existencia de un cuadrilátero orbital, pero no suficiente. Además, como se ve en Cuadrilátero órtico de un cuadrilátero inscrito, el circuncentro debe ser un punto interior del cuadrilátero [ABCD]. De forma equivalente, todos los ángulos formados en los vértices entre un lado y una diagonal, deben ser agudos.

En ese caso, todos los proyecciones sobre los lados del punto de corte de las diagonales están en el interior de estos y determinan una órbita periódica. El cuadrilátero [EFGH] así formado resulta ser circunscrito y de área máxima para un cuadrilátero cíclico [ABCD] dado. A este cuadrilátero [EFGH] lo podemos llamar, por similitud con el caso triangular, cuadrilátero órtico del cuadrilátero [ABCD], aunque sería más preciso llamarlo cuadrilátero pedal del punto de corte de las diagonales.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 18 octubre 2026. Creado con GeoGebra