Cuadriláteros bicéntricos

Son cuadriláteros que pueden inscribirse en una circunferencia c_C y circunscribirse a otra c_I. Si en un par de circunferencias interiores se puede inscribir y circunscribir un cuadrilátero, a partir de un punto cualquiera inicial A de la circunferencia c_C, se puede hacer también comenzando por cualquier otro punto de ella. Se trata del Porismo de Poncelet para cuadriláteros en circunferencias. En general, este resultado proyectivo es cierto para polígonos de cualquier número de lados inscritos y circunscritos en dos cónicas. En Distancia del Incentro al Circuncentro ... se ve el caso de triángulos en circunferencias.

La fórmula de Fuss que relaciona los radios r y R de ambas circunferencias c_I y c_C con la distancia p entre sus centros I y O, es notablemente parecida a la de Euler para triángulos. Y nos indica claramente que el cuadrilátero existe para cualquier posicíon de I en el interior de la circunferencia c_C.

Lógicamente se verifican simultáneamente las condiciones:

A + C = B + D = 180º (Cuadrilátero inscriptible)

a + c = b + d (Cuadrilátero circunscriptible)

Un hecho curioso es que las diagonales se cortan en un punto M, alineado con I y O, y que permanece invariable la mover los vértices manteniendo I y O fijos. Los segmentos que unen los puntos de contacto opuestos con la circunferencia inscrita, tembién se cortan en el mismo punto y además son perpendiculares.

La fórmula para la superfice se deduce fácilmente, imponiendo que el cuadrilátero también sea circunscriptible, de la de Brahmagupta para cuadriláteros inscritos, muy similar a la de Heron para triángulos cualesquiera.

En el campo de entrada para el valor de p, se pueden introducir expresiones, como ⅓, sqrt(2)/2, ... Hay dos cuadriláteros notables que pueden ser bicéntricos: las cometas, cuadriláteros con dos pares disjuntos de lados consecutivos iguales; y los trapecios.

¿Que condiciones deben cumplir las cometas para ser bicéntricas?
¿Y los trapecios?

¿Qué ocurre si I = C?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 19 agosto 2016, Creado con GeoGebra