Cambio de sistema de referencia en el plano y Afinidades

Un sistema de referencia afín del plano está formado por un punto y un par de vectores no paralelos, como {O, i, j} ó {O', u, v}, y permite asignarle a cada punto P del plano un par de coordenadas de forma biunívoca, las componentes del vector OP en la base formado por los vectores. Los vectores son perpendiculares, la base es ortogonal; si además tienen ambos módulo 1, ortonormal. En este último caso, decimos que el sistema de referencia es cartesiano.

Un punto tiene distintas coordenadas en distintos sistemas de referencia, por lo que un cambio de sistema de referencia también puede verse como una transformación de puntos en el mismo sistema de referencia. Estas transformaciones que se corresconden con cambios de sistema de referencia afín, se llaman transformaciones afines o afinidades. Las ecuaciones que ligan las coordenadas iniciales y finales de los puntos constituyen, en el plano, un sistema de dos ecuaciones lineal en todas las coordenadas. Una afinidad queda totalmente definida por tres puntos y sus imágenes, por lo que cualquier triángulo puede obtenerse a partir de otro mediante una transformación afín.

Las afinidades incluyen las conocidas traslaciones, giros, simetrías y homotecias, pero también llos deslizamientos, en que los puntos se desplazan paralelamente a una línea en proporción a su distancia a ella, y las contraaciones perpendiculares a una línea, en la que los puntos se acercan, o alejan, perpendicularmente a una línea, proporcionalmente a su distancia a ella. La composición de afinidades también es una afinidad. Son transformaciones biunívocas del plano real, sin elementos impropios o del infinito, en si mismo.

Una característica de las afinidades es que conservan la razón simple de tres puntos, que no es más que el cociente de distancias de tres puntos alineados. Aunque no se conservan los ángulos, y por tanto las formas, si que lo hacen la incidencia y el paralelismo, así como los cocientes de áreas. En particular, las rectas se trensforman en rectas, las cónicas en cónicas del mismo tipo (elipses, parábolas o hipérbolas). En particular, el centro de masas de un conjunto de puntos transformados es el transformado del centro de masa de los puntos originales, como por ejemplo el baricentro de un triángulo o el centro de una cónica.

En la figura se tiene el sistema de referencia canónico {O, i, j} y otro {O', u, v} que puede cambiarse arrastrando su origen O' o los extremos de sus vectores u y v. Se muestra una cónica d en color azul, definida por cinco puntos A, B, C, D y E que pueden arrastrarse, y su transformada, d' en color rojo, por la afinidad inducida por el cambio de sistema de referencia.

La situación puede interpretarse como que se cambia el sistema de referencia permaneciendo la curva invariable, y se tienen sus ecuaciones en ambos sistemas de referencia, o que se transforma la curva y se tienen las ecuaciones de ambas en el sistema de referencia inicial.

Si se marca la casilla 'Ver pasos intermedios' pueden verse las cinco transformaciones elementales en las que se descompone esta afinidad, que lleva d en d', o {O', u, v} en {O, i, j}. Esta descomposición no es desde luego única. Se trata de:

1. Una traslación, que lleva O' en O.
2. Una rotación, que hace coicidir las direcciones de los primeros vectores de cada base.
3. Deslizamiento paralelo al eje Ox, para hacer coincidir las direcciones de los segundos vectores de cada base.
4. Contracción hacia Ox, para que el segundo vector de la base tenga módulo 1.
5. Contracción hacia Oy, para que el primer vector de la base tenga módulo 1.

En cada paso puede verse la curva transformada y el nuevo y antiguo sistema de referencia, en verde y naranja respectivamente, en lo que no coincidan con el inicial o final. También los cinco puntos que definen a la cónica.

Las transformaciones afines permiten estudiar en el triángulo que nos resulte más conveniente, normalmente el equilátero o el rectángulo isósceles, los problemas que conciernan exclusivamente a cocientes de distancias de puntos alineados o cocientes de áreas en cualquier triángulo. De la misma forma para elipses y circunferencias, hipérbolas arbitraria y equiláteras, ... Como los cocientes áreas de triángulos determinados por determinadas cevianas de otros, de las elipses inscritas y circunscritas con centro en el baricentro, el Porismo de Poncelet para en elipses(general o triángulos en circunferencias), o el área de la regíon desde cuyos puntos pueden trazarse tres rectas que bisecan cada una el área de un triángulo ...

Si los vectores u y v son perpendiculares y tienen el mismo módulo, ¿cómo son las formas de las figuras transformadas? ¿Como se llaman estas transformaciones?

¿Y si además tienen módulo 1?

Modifica el sistema {O', u, v} Para tener exclusivamente una traslación, un griro, una simetría axial, central (¿a que equivale?), una homotecia, un deslizamiento o una contracción.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 3 Septiembre 2016, Creado con GeoGebra