Triángulo formado por tres cevianas (Teorema de Routh)

Una ceviana es un segmento que une un vértice con un punto del lado opuesto. Las aquí dibujadas dividen a los lados del triángulo T de vértices A, B y C a una fracción 0 ≤ p, q, r ≤ 1 del extremo, contada en sentido contrario a las agujas del reloj. Es decir:

p = BD/BC, q = CE/CA, r = AF/AB

El valor de p, q y r se puede modificar con el deslizador o con las cajas de entrada. En estas se pueden poner expresiones como 1/3 o (√5 - 1)/2, por ejemplo (copiar y pegar el símbolo de raíz: √).

Si mueves los vértices A, B o C, cambian T y T', ¿pero el cociente?

¿Cuando varía el área de T' al intercambiar los valores de p, q y r?

¿Y si se cambia p con 1-p, q con 1-q y r con 1-r?

¿Qué ocurre si (p/(1-p))(q/(1-q))(r/(1-r)) = 1? (Teorema de Ceva)

Para más detalles, puede consultarse el documento Algunos polígonos delimitados por cevianas.

Si en lugar de utilizar las proporciones entre uno de los segmentos en que la ceviana divide al lado y el lado, se prefiere utilizar las proporciones entre los dos segmentos del lado que separa la ceviana:

u = DC/BD, v = EA/CE, w = FB/AF

basta hacer el cambio:

p = u/(1 + u), q = v/(1 + v), r = w/(1 + w)

con lo que resulta: T'/T=(uvw-1)^2/(1+u(1+v))(1+v(1+w))(1+w(1+u)))

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 30 diciembre 2014. Creado con GeoGebra