Porisma de Poncelet

Sean α y β dos cónicas. Se toma un punto P₀ en α, y se traza una tangente β a través de P₀, y sea P₁ el otro punto en que esta tangente corta a α. Se traza ahora otra tangente a β, pasando por P₁ y que vuelve a cortar a α en P₂. Continuando de esta manera, se definen P₃, P₄ y así sucesivamente. Si P_n = P₀, y comenzamos el proceso en cualquier otro punto P'₀ de α, construyéndode P'₁, P'₂, ... de la misma manera, entonces también se tiene que P'_n = P'₀ .

Se trata de un teorema proyectivo: algunos de los puntos y rectas implicados puede ser ocasionalmente impropio. Además, si se considera a P₁...P_n como un polígono, no será necesariamente simple y las tangencias pueden presentarse en las prolongaciones de los lados, no solo en los propios lados.

Cuando las dos cónicas son circunferencias, se habla de polígonos bicéntricos, y pueden ser tanto convexos como estrellados. Para triángulos y cuadriláteros, necesariamente convexos, pueden verse los applets Distancia del incentro al circuncentro y porisma de Poncelet para triángulos y circunferencias, Cuadriláteros bicéntricos y Teorema de Fuss para cuadriláteros bicéntricos.

Se puede proseguir considerando las tangentes en los puntos de interseccion con cada cónica, y las rectas que unen los puntos de intersección. Esto último equivale a considerar los otros polígonos, convexos o estrellados, que determinan las mismas rectas. Al menos para n ≤ 5, el propio porisma de Poncelet, unido al hecho de que por cinco puntos siempre se puede trazar una cónica, garantiza que estos nuevos polígonos están siempre inscritos en una cónica y circunscritos a otra. Desplazar el deslizador n para visualizar este proceso.

Activando la casilla 'Modificar cónicas', pueden desplazarse con dos grados de libertad los cinco puntos blancos que definen a la cónica de color azul, inicialmente la más interna, y uno de los que definen la de color magenta. Otros tres de los puntos que definen a ésta última pueden desplazarse con un grado de libertad.

Al modificarlas, pueden obtenerse cónicas de cualquier tipo, pero téngase presente lo dicho más arriba: las intersecciones y tangencias lo son de las rectas, incluso impropias unas u otras, no de los lados de los polígonos, que no serán en general convexos.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 27 agosto 2016. Creado con GeoGebra