Teorema de Monge

Si se tienen tres círculos, ninguno de los cuales es totalmente interior a otro, sus tres pares de tangentes externas se cortan en tres puntos colineales. Estos puntos son los centros de homotecia directa de cada par de círculos.

Basta tener en cuenta que los puntos de corte de las tangentes exteriores son los centros de homotecia directa de las circunferencias, y que el producto de homotecias es otra homotecia con su centro alineado con las otras dos.

O bien, considerando que las distancias de los centros a los puntos de corte de las tangentes son proporcionales a los radios, aplicar el Teorema de Menelao.

Si ninguno de los círculos tampoco es totalmente interior al ángulo determinado por los otros dos, también es posible una sencilla demostración en 3D, considerando las esferas que los tienen por círculos diametrales. Puesto que los puntos de intersección de las tangentes exteriores son los vértices de los conos determinados por cada par de circunferencias, estos tres vértices deben estar en los planos tangentes comunes a las tres esferas y consecuentemente en la recta en que se cortan.

Considerando también las homotecias inversas entre las circunferencias, se ve igualmente que los puntos de corte de las tangentes interiores de dos pares de las tres circunferencias están alineados con el punto de corte de las tangentes exteriores del tercer par.

Respecto a los tres puntos de corte de las tangentes interiores, hay otro resultado conocido como Teorema de Monge interior.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 20 febrero 2022. Creado con GeoGebra