Producto de homotecias

El producto de dos homotecias H₁ y H₂, de centros O₁ y O₂, y razones k₁ y k₂, es otra homotecia H₃ de razón k₃ = k₁·k₂ y centro O₃ alineado con O₁ y O₂ y tal que O₁O₃=(k₂-1)/(k₁·k₂-1)·O₁O₂. Están alineados puesto que la recta O₁O₂ es invariante en las homotecias H₁ y H₂, y consecuentemente en su producto H₃, por lo que debe contener al centro O₃ de ésta.

Si k₁·k₂=1, O₃ es el punto del infinito y se trata en realidad de una traslación de vector (k₁-1)/k₁·O₁O₂.

Una consecuencia inmediata es que los seis puntos de homotecia directa/inversa de tres circunferencias no coaxiales están alineados en cuatro rectas: Los tres de homotecia directa en una, y dos de homotecia inversa con el de homotecia directa correspondiente el tercer par, en otras tres. Son sus cuatro ejes de homotecia. Resultado conocido como Teorema de Monge.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 6 mayo 2022. Creado con GeoGebra