Punto de Miquel de 4 rectas

Los cuatro círculos circunscritos a los triángulos determinados por tres de cuatro rectas, entre las que no hay dos paralelas, se cortan en un único punto M, su punto de Miquel.

Este punto de Miquel es el foco de la única parábola tangente a las cuatro rectas.

La demostración simplemente consiste en observar que cada terna de círculos circunscritos a tres de los triángulos se deben volver a cortar en otro punto, que por lo tanto es el mismo para los cuatro, como consecuencia del Teorema de Miquel para el triángulo.

"Dados tres puntos, uno en cada lado de un triángulo o en sus prolongaciones, las tres circunferencias que pasan por un vértice del triángulo y los dos puntos en los lados que pasan por él, concurren en un punto"

Vease:

Tres circunferencias ¿concurrentes?

Teorema de Miquel - Formulación alternativa

Las cuatro rectas pueden considerarse como los soportes de los lados de tres cuadrlateros, convexos o no e incluso cruzados, pero no trapecios.

Además, los circuncentros de los cuatro triángulos y el punto de Miquel son concíclicos.

Auguste Miquel, nacido el 8 de febrero de 1816 en Albi y fallecido el 1 de marzo de 1851 en Vigan, fue un matemático francés, autor de varios teoremas de geometría plana sobre círculos y polígonos.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 19 mayo 2022. Creado con GeoGebra