Tres circunferencias ¿concurrentes?

Los puntos D, E y F están situados en cualquier parte de cada uno de los lados del triángulo △ABC o de sus prolongaciones, pero no deben coincidir con los vértices.

Cada circunferencia pasa por un vértice y por los dos puntos que están en los lados que concurren en él. Aparentemente las tres pasan por un mismo punto P. ¿Puedes justificarlo?

Este es el Teorema de Miquel: "Dados tres puntos uno en cada lado de un triángulo, o en sus prolongaciones, las tres circunferencias que pasan por un vértice del triángulo y los dos puntos en los lados adyacentes, concurren en un punto".

El punto P se conoce como punto de Miquel. Si las cevianas AD, BE y CF concurren en un punto P', se dice que P es el punto de Miquel asociado a P'.

Si D, E y F están alineados, uno o los tres deben estar en ese caso en las prolongaciones de los lados, el punto de Miquel está en la circunferencia circunscrita al △ABC.

En ocasiones, el punto de Miquel P puede quedar fuera del triángulo △ABC. Por ejemplo, si llevas el punto F muy cerca de B. ¿Como justificas ahora los distintos pasos?

Marca la casilla de verificación [Triángulo de Centros] para mostrar el △LMN formado por los centros de las tres circunferencias. ¿Cómo es el △LMN comparado con el △ABC? ¿Puedes justificarlo? Marca la casilla [Ángulos de los triángulos] para ayudarte.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 10 febrero 2014. Creado con GeoGebra