Lugar geométrico de los puntos cuyo cociente de distancias a dos fijos es constante

El lugar geométrico de los puntos cuyo cociente de distancias a dos dados A y B es k ≠ 1, es una circunferencia de diámetro MN alineado con AB, con AM = AB/(1 + k) y AN = AB/(1 - k), cirunferencia de Apolonio, donde se consideran segmentos orientados, de forma que los puntos {A, B} separan a los puntos {M, N}.

Si k = 1 se trata de la mediatriz del segmento AB.

Para verlo, si k ≠1, se determinan los puntos M y N como queda dicho. Para cualquier otro punto C, por el Teorema de la bisectriz, que dice que los segmentos determinados por las bisectrices interior y exterior de un ángulo de un triángulo en el lado opuesto son proporcionales a los lados adyacentes, se tiene que la bisectriz interior de ∠ACB pasa por M y la exterior por N. Pero estas bisectrices forman un ángulo recto, por lo que C está en la circunferencia de diámetro MN. El recíproco se ve fácilmente mediante semejanza de triángulos, trazando paralelas a CN por A y B. Por tanto, el lugar geométrico es la circunferencia de diámetro MN.

Los tres círculos de Apolonio de dos vértices de un triángulo que pasan por el tercero se cortan en los dos puntos isodinámicos del triángulo.

Los puntos M y N son conjugados armónicos respecto de los puntos A y B, pues la razón doble es:

RD(A, B, M, N) =RD(M, N, A, B) = (NB/NA)/(MB/MA) = k/(-k) = -1

El conjugado armónico del punto medio es el punto del infinito, por lo que si M es el punto medio de AB, k = 1, la circunferencia setransforma en la mediatriz.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 26 mayo 2017. Creado con GeoGebra