Conjugado Armónico - cuaternas armónicas

Un punto D se dice que es el conjugado armónico del punto C respecto de los puntos A y B, todos colineales, si su razón doble es -1:

s = RD(A, B, C, D) = (BD/BC)/(AD/AC) = -1

Se trata de una involución: C es a su vez el conjugado armónico de D respecto de A y B, y estos últimos son conjugados ármonicos respecto a C y D. Se dice que (A, B, C, D) Constituyen una cuaterna armónica de puntos.

Los dos pares de puntos (A, B) y (C, D) se pueden conmutar internamente y entre si, pero no de otra forma. Por ejemplo, (A, C, B, D) no es una cuaterna armónica si lo es (A, B, C, D).

Considerando la recta proyectiva r, incluyendo su punto del infinito, los puntos A y B separan a los puntos C y D si y solo si s < 0, de manera que las circunferencias de diámetros AB y CD son secantes. Si es s = -1, los separan armónicamente y las circunferencias son ortogonales.

Los puntos A, B, C, P y Q y X, la visibilidad de algunos depende de las casillas activadas, pueden desplazarse libremente en las rectas que los contienen, salvo el punto P que puede ocupar cualquier posición fuera de la recta r.

Con la primera casilla activada, mover el deslizador paso a paso para ver la construcción del punto D.

Esta construcción se basa en que en un cuadrilatero completo, los vertices (A y B) correspondientes a una diagonal (r), separan armónicamente a los puntos (C y D) de intersección de dicha diagonal con las otras dos (RP y QS).

La posición del punto D no depende de la elección de P y Q, pues queda totalmente determinado por A, B y C.

¿Si C es el punto medio de A y B, que posición ocupa el punto D?

Marcando la tercera casilla se visualiza la cuadrícula y es sencillo situar C exactamente en el punto medio de A y B.

¿Que valores recorre la razón doble de la cuaterna (A, B, C, X) cuando X varía en los intervalos, incluyendo semirectas, determinados por A, B, C y D?

Con la tercera casilla activada, puede animarse el movimiento del punto X, o moverlo manualmente.

No es conveniente, ni necesario, tener marcadas las tres casillas simultáneamente.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 24 agosto 2016. Creado con GeoGebra