Hexagrama bicéntrico

Se tienen dos circunferencias Ω₁ y Ω₂ tangentes exteriormante entre si e interiormente a otra Ω. Las tres tangentes comunes a Ω₁ y Ω₂ cortan en seis puntos {A, B', C, A', B, C'} a Ω. Estos seis puntos determinan un hexagrama (estrella de seis puntas) inscrito en Ω. Este hexagrma admite una circunferencia inscrita (inscrita por tanto al △ABC y al △A'B'C'), y su centro es I, el punto de tangencia de Ω₁ y Ω₂.

Se utiliza dos veces el Teorema de Casey, una generalización del de Teorema dePtolomeo para cuadriláteros inscritos, que se refiere a cuatro círculos tangentes interiormente a una circunferencia. Pero es válido si uno o más de estos círculos se reducen a un punto. Aqui se aplican a tres puntos y un círculo.

Demostrado que I es el incentro de uno de los triángulos, por simetría y con el Porismo de Poncelet para triángulos, se ve que también lo es del otro y con la misma circunferencia Ω₃.

Puede desplazarse el punto de tangencia T y los centros O₁ y O₂ de las circunferencias Ω₁ y Ω₂.

Basado en un problema propuesto por la India en la IMO de Moscú de 1992, aunque finalmente no fue utilizado. Visto en 'Los teoremas de Ptolomeo u su generalización por Casey. Apolicaciones', una lección de preparación olímpica del profesor Francisco bellot Rosado.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 6 junio 2023. Creado con GeoGebra