Teorema de Casey

El teorema de Casey puede considerarse una generalización de teorema de Ptolomeo, sustituyendo los lados y diagonales de un cuadrilátero inscrito por las longitudes t_ij de los segmentos de tangentes exteriores de cuatro circunferencias tangentes interiormente a otra.
Las longitudes t_ij se calculan fácilmente en función de los radios respectivos r_i y r_j y de la distancis entre sus centros O_iO_j mediante el teorema de Pitágoras.

La igualdad se conserva si uno o más de los r_i son nulos, reduciendose en es caso la circunferencia al punto de tangencia T_i. Si los cuatro radios son nulos, queda el cuadrilátero inscrito T₁T₂T₃T₄ y resulta el teorema de Ptolomeo.

Pueden desplazarse los cuatro centros de las circunferencias, manteniendo su orden relativo. Prueba a llevarlos los cuatro hasta la circunferencia, para anular los respectivos radios. Los segmentos de tangentes exteriores de dos circunferencias son iguales entre si, (al igual que los de las interiores), por lo que no hay problema si al desplazar los vértices salta el segmento t_ij de un lado al otro de las circunferencias.

Los circulos también pueden ser exteriores. Si O_i y O_j estan ambos dentro o fuera de círculo exterior, se toma t_ij como lel segmento de tangente externa de ambos círculos. Si está uno dentro y otro fuera, t_ij es el segmento de tangente interna.

El recíproco del teorema de Casey también es cierto: si se cumple la igualdad, los cuatro círculos son tangentes a otro.

En la figura es r = 1.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 28 noviembre 2020. Creado con GeoGebra