Teorema de Ptolomeo

Para ver el cociente de las diagonales, basta descomponer el cuadrilátero en dos triángulos por sus diagonales de las dos formas posibles, y calcular su área en función de los lados de estos triángulos y del radio R de la circunferencia circunscrita a ambos:

S = △ABC+△ACD =(abe)/(4R) + (cde)/4R = (ab+cd)e/(4R)

S = △ABD+△ABD =(adf)/(4R) + (bcf)/4R = (ad+bc)f/(4R)

Dividiendo ambas igualdades queda:

e/f = (ad+bc)/(ab+cd)

Multiplicando dividiendo por la igualdad del Teorema de Ptolomeo, se obtienen las diagonales de un cuadrilátero cíclico en función de los lados:

e² = (ac+bd)(ad+bc)/(ab+cd)

f² = (ac+bd)(ab+cd)/(ad+bc)

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo Xeodin), 11 febrero 2014. Creado con GeoGebra