Conjugados isotómicos

Dos puntos del plano de un △ABC se dice que son conjugados isotomicos cuando las intersecciones con los lados opuestos de las cevianas que pasan por ellos son simétricas respecto del punto medio de los lados.

Consecuentemente las distancias de los pies de las cevianas a los vértices del lado en que se hallan también son iguales:

AP_C = Q_CB, BP_A = Q_AC, CP_B = Q_BA
P_CB = AQ_C, P_AC = BQ_A, P_BA = CQ_B

La existencia del conjugado isotómico para cualquier punto P distinto de los vérices es entonces inmediata a partir del Teorema de Ceva, pues en los cocientes correspondientes se intercambian todos los numeradores y denominadores, dejando su valor igualmente en 1:

1 = (AP_C/P_CB)·(BP_A/P_AC)·(CP_B/P_BA) = (Q_CB/AQ_C)·(Q_AC/BQ_A)·(Q_BA/CQ_B) ==>

(AQ_C/Q_CB)·(BQ_A/Q_AC)·(CQ_B/Q_BA) = 1

La circumelipse de Steiner, e_S en la figura, es la elipse circunscrita al triángulo y que tiene su centro en el baricentro. Nótese que esto último impone que pase también por los simétricos de los vértices respecto al baricentro, por lo que e_S está perfectamente determinada. El conjugado isotómico de e_S, lugar geométrico de los conjugados isotómicos de sus puntos, es la recta del infinito, de forma similar a como esta recta impropia también es el conjugado isogonal de la circunferencia circunscrita.

¿Cual será el conjugado isotómico del baricentro G?

¿Hay otros puntos autoconjugados isotómicamente?

¿Y cuáles son los conjugados isotómicos de los puntos de Gergonne Ge y de Nagel Na?

El punto de Gergonne es el punto en que concurren las cevianas de los puntos de contacto de la circunferencia inscrita. Similarmente, el punto de Nagel es el punto en que concurren las cevianas de los puntos de contacto con el lado de las circunferencias ex-inscritas, tangentes a cada lado y a las prolongaciones de los otros dos. Es claro que son conjugados isotómicos, ver: Segmentos determinados por tangentes comunes de dos circunferencias exteriores.

¿Y el de un punto perteneciente a un lado o su prolongación, pero distinto de los vértices?

¿Y si P esta situado en alguno de los vértices?

Las tres rectas que contienen a los lados y la elipse e_S dividen al plano en 10 regiones: el interior del triángulo, tres ángulos opuestos en cada vértice a los del triángulo, tres segmentos elípticos comprendidos entre los lados y la elipse e_S y otras tres regiones ilimitadas definidas por las prolongaciones de dos lados y el arco de elipse e_S comprendido entre ellos. ¿En que región estará el conjugado isogonal de un punto situado en cada una de ellas?

Intenta justificar correctamente todas las respuestas.

En general, el conjugado isotómico de una recta es una circumcónica, cónica circunscrita al triángulo. El número de puntos del infinito de la circumcónica es igual al número de puntos en común d la recta t la elipse e_S. Por tanto, seá una hipérbola, parábola o elipse, segun que la recta sea secante, tangente o exterior a e_S. El punto del infinito de la recta se corresponde con el cuarto punto de intersección de la circumcónica y e_S. En el caso de la circunferencia circunscrita, se trata del punto de Steiner S.

Pueden verse los conjugados isotómicos de otras líneas. Para ello deben crearse con las herramientas gráficas o mediante la línea de entrada, para lo que pueden usarse los puntos ya definidos, estén o no visibles, excepto P y Q y sus proyecciones en los lados, u otros nuevos. A continuación poner en la línea de entrada P = Punto[nl], donde nl es el nombre de la nueva línea, y a continuación pulsar el botón [Aux].

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 18 diciembre 2016. Creado con GeoGebra