Teorema de Ceva

Una ceviana es un segmento que une un vértice de un triángulo con un punto del lado opuesto.

Si se tienen tres cevianas CF, AD y BE que dividen al lado opuestos en segmentos r = AF y r' = FB, p = BD y p' = DC, q = CE y q' = EA respectivamente, concurren en un punto P si y solo si:

(p/p')(qq')(r/r') = 1 ⇔ p·q·r = p'·q'·r'

El punto P puede ser interior o exterior al triángulo, pero si esta sobre los lados o sus prolongaciones, o sobre las paralelas a los lados por los vértices opuestos, algunos de los cocientes están indefinidos.

Si el punto P es interior al triángulo, los tres puntos D, E y F son interiores a los lados. Si P es exterior al triángulo, dos de estos puntos están en las prolongaciones de los lados respectivos. En este caso es importante tomar los segmentos orientados, de manera que los que están alineados tengan igual signo si tienen el mismo sentido y signo contrario si tienen sentidos contrarios.

Pueden desplazarse los vértices A, B y C y el punto P.

Las dos primeras proporciones son debidas a que triángulos con la misma altura tienen áreas proporcionales a sus bases. La tercera se deduce restando o sumando los numeradores de las dos primeras, según que el punto P esté del mismo lado que C o del contrario, respecto del lado AB. Recuerdese que si dos cantidades son proporcionales a otras dos, también los son sus sumas y diferencias:

a/b = c/d ⇒ a/b = c/d = (a + c)/(b + d) = (a - c)/(b - d)

Si se parte de las longitudes de los segmentos que se determinan en los lados para ver si las cevianas son concurrentes o no, es fundamental asignar correctamente los sentidos de los segmentos si algún punto está en las prolongaciones de los lados: de un vértice al punto de intersección con la ceviana, y de este al otro vértice.

Si el producto de los tres cocientes es -1, las cevianas no son concurrentes, sino que por el contrario los puntos D, E y F están alineados, estando necesariamente uno o los tres situados en las prolongaciones de los lados (Teorema de Menelao).

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 26 octubre 2016. Creado con GeoGebra