Intersecciones de cónica y triángulo

Si una cónica corta a los tres lados de un triángulo en puntos distintos de los vértices, el producto de distancias de cada vértice del triángulo a los puntos de intersección situados en la recta que lo une con el siguiente vértice, es igual en un sentido que en el otro:

(AI·AJ·BK·BL·CM·CN)/(BI·BJ·CK·CL·AM·AN) = 1

Es una particularización a curvas de 2º grado de un resultado más general debido a Carnot para curvas algebraicas de grado n. Para rectas, curvas de primer grado, se reduce al teorema de Menelao.

La demostración para curvas de 2º grado es inmediata, ya que el cociente anterior es un invariante proyectivo, como se ve por el criterio de Poncelet, por lo que basta con demostrarlo para una circunferencia, ya que todas las cónicas son proyectivamente equivalentes. Pero en el caso de una circunferencia, se tiene que AI·AJ = AM·AN, por la potencia del punto respecto de la circunferencia. Como lo mismo ocurre para los otros vértices, la igualdad se cumple trivialmente.

Pueden desplazarse los vértices del triángulo y los cinco puntos rojos que definen la cónica. Los ocho deben ser distintos y la cónica no debe pasar por nínguno de los vértices.

Mostrar la cuadrícula puede ayudar a conseguir un tipo de cónica u otro, situando convenientemente los puntos.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 31 diciembre 2016. Creado con GeoGebra