Invariantes proyectivos - Criterio de Poncelet

La longitud de un segmento AB se puede expresar en función de las distancias del segmento, de sus extremos y del ángulo que subtienden desde un punto O que no esté en su recta.

Si se tiene un cociente de segmentos, de una o más rectas, proyectados desde un punto O, algunas de estas longitudes pueden cancelarse. Si se cancelan todas, permaneciendo únicamente los senos de los ángulos que forman los rayos proyectantes, el cociente tendrá el mismo valor para cualquier otra recta que corte al haz de rayos, y para cualquier otro conjunto de rayos que proyecten los mismos puntos, y será por tanto un invariante proyectivo.

El criterio de Poncelet tiene una formulación curiosa, pero evidente a la luz de lo anteriormente dicho:

"Un cociente de segmentos en el que cada punto (extremos de un segmento) aparece tantas veces en el numerador como en el denominador, e igualmente cada recta contiene el mismo número de segmentos en el numerador que el denominador, es un invariante proyectivo".

Pues por la primera condición se cancelan todas las distancias a los puntos y por la segunda todas las distancias a los segmentos, que solo depende de la recta que los contiene. Y esto para cualquier punto O desde el que se proyecten.

La razón simple de tres puntos RS(A,B,C) no es un inveriante proyectivo, pero si la razón doble de cuatro puntos, RD(A,B,C,D). Por ello en las proyecciones no se conservan las proporciones

Igualmente los cocientes

(AC'·BA'·CB')/(C'B·A'C·B'A)

donde A' pertenece a la recta BC, B' a la recta CA y C' a la recta AB, que se utilizan en los teoremas de Menelao y Ceva, son invariantes proyectivos, como corresponde, pues si tres puntos están alineados o tres rectas son concurrentes, lo mismo ocurrirá con cualquiera de sus proyecciones.

Proyectando un triángulo sobre una superficie esférica desde su centro, y sustituyendo longitudes de lados por los senos de las distancias esféricas y rectas por círculos máximos, se obtienen los correspondientes teoremas de Menelao y Ceva para la trigonometría esférica. De hecho, la formulacíón conocida de Menelao de su teorema está formulada para triángulos esféricos.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 26 diciembre 2016. Creado con GeoGebra