Recta de Euler paralela a un lado

La recta de Euler de un triángulo, que pasa por el ortocentro, baricentro y circuncentro, es paralela a un lado si, y solo si, el producto de las tangentes de los ángulos adyacentes a ese lado es 3.

Se ve aqui la demostración en el sentido: "recta de Euler paralela al lado" ⇒ "producto de tangentes igual a 3".

En el 4º recuadro se utiliza el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia (el D).

Puedes desplazar los vértices del triángulo. Si desplazas el punto A una unidad a la derecha y tres hacia arriba, y el punto B una unidad a la izquierda, tienes otro ejemplo de triángulo con la recta de Euler paralela al lado BC.

Todas las implicaciones son reversibles, cambiando de término alguna de las hipótesis si es necesario. Se ve así fácilmente la implicación contraria.

Que el simétrico del ortocentro respecto de los lados esté en la circunferencia circunscrita es un resultado general, como se ve en el 2º y 3^er recuadro.

A partir de que en cualquier triángulo, el producto de las tangentes es igual a su suma, es fácil ver que si el producto de dos de ellas es 3, el triángulo es acutángulo. En efecto, sean p, q y r las tangentes de A, B y C respectivamente, y q·r = 3. Entonces,

p + q + r = p·q·r ⇒ p + q + 3/q = 3p ⇒ p = (q² + 3)/(2q) > 0 ⇒ A < 90º

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 12 febrero 2014. Creado con GeoGebra