Alturas y ortocentro

Las alturas de un triángulo son las rectas perpendiculares a los lados que pasan por el vértice opuesto. Se cortan las tres en el ortocentro H.

¿El ortocentro siempre se encuentra en el interior del triángulo? Averigua cuando esta dentro, en el perímetro (¿exactamente donde?) o en el exterior del triángulo. Mueve para ello los vértices y fíjate en los valores de los ángulos.

Sitúa alternativamente los vértices en la posición en la que se encuentra H. ¿Donde se sitúa entonces H?

Por tanto, ¿cuál es el ortocentro del triángulo ABH? ¿y del BCH? ¿y del CAH?

El penúltimo punto utiliza el concepto de potencia de un punto respecto de una circunferencia: El producto de los segmentos desde un punto hasta la circunferencia en una misma recta es constante, independiente de la recta.

El simétrico B'' de H respecto del punto medio del lado b, Mb, forma con A, H y C un paralelogramo, puesto que sus diagonales se cortan en su punto medio. Por tanto ∠CB''A = ∠AHC = ∠AQC y B'' también está en la circunferencia circunscrita. Igual ocurre con A'' y C''. Por tanto, la circunferencia homotética de la circunscrita con centro H y razón ½ pasa por los pies de las alturas, por los puntos medios de los lados y por los puntos medios del ortocentro y los vértices (en blanco en la figura). Se trata de la circunferencia de los 9 puntos o de Feuerbach.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 11 febrero 2014. Creado con GeoGebra