Triángulos inscritos en una hipérbola equilátera

Si cada uno de los tres vértices de un triángulo se halla en cualquiera de las ramas de una hipérbola equilátera, el ortocentro también. De los cuatro puntos, vértices más ortocentro, siempre hay tres en una rama y otro en la otra.

Como todas las hipérbolas equiláteras tienen la misma forma, basta probarlo con x·y=1, lo que se hace muy fácilmente. Para ver en que rama se distribuyen los puntos, no hay más que observar los signos de sus coordenadas.

Es interesante recordar que el triángulo formado por dos vértices y el ortocentro, tiene como ortocentro al tercer vértice. El conjunto de los cuatro puntos es lo que se conoce como «cuadrivértice ortocéntrico».

El planteamiento contrario es también muy interesante: Hipérbolas equiláteras circunscritas a un triángulo. Como se ha visto aquí, deben pasar necesariamente por el ortocentro.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 27 septiembre 2025. Creado con GeoGebra