Triángulos de Jacobi

Un triángulo de Jacobi A'B'C' se obtiene rotando en torno a cada vértice los dos lados de un triángulo cualquiera ABC que inciden en él, un mismo ángulo en sentidos contrarios. El ángulo puede ser distinto para los tres vértices. Los vértices del triángulo de Jacobi son entonces las intersecciones de las rectas producidas al girar el mismo lado respecto de sus dos extremos.

Las rectas que unen los vértices del triángulo ABC con los vértices del triángulo de Jacobi, obtenidos por las rotaciones del lado opuesto, concurren siempre en un punto K, lo que constituye el Teorema de Jacobi. Se obtiene fácilmente combinando el teorema del seno con la forma trigonométrica del Teorema de Ceva

Si α = β = γ, el punto K yace en la hipérbola de Kiepert.

Para un triángulo ABC dado hay 19 ternas de ángulos [α, β, γ] que originan triángulos de Jacobi congruentes con el ABC. El más sencillo de ellos se obtiene utilizando ángulos de giro complementarios del ángulo del vértice correspondiente. En este caso, los dos triángulos son concíclicos y simétricos respecto de su circuncentro común, en el que se sitúa el punto de Jacobi. Pulsando el botón [Congruentes concíclicos] se obtiene este triángulo de Jacobi.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 3 noviembre 2016. Creado con GeoGebra