El triángulo tangencial y las simedianas

El triángulo tangencial del triángulo △ABC es el △A'B'C', determinado por las tangentes en A, B y C a la circunferencia circunscrita.

A su vez, el triángulo △ABC es el triángulo de contacto interior, o triángulo de Gergonne, del △A'B'C', siendo sus vértices los puntos de contacto de los lados del triángulo △A'B'C' con su circunferencia inscrita.

Las simedianas del triángulo △ABC pasan por los vértices del triángulo tangencial △A'B'C'. Es decir, el punto de Lemoine L del triángulo △ABC es el punto de Gergonne de su triángulo tangencial △A'B'C'. O dicho al revés, el punto de Gergonne del triángulo △A'B'C' es el punto de Lemoine de su triángulo de contacto interior △ABC (su triángulo de Gergonne).

Desplaza el cursor para ver que la simediana del vértice A pasa por el punto A'. Para las otras dos simedianas es igual.

La semejanza de los triángulos △ABC y △AED es la composición de una simetría respecto a la bisectriz del ángulo ∠A y una homotecia de centro A.

¿Por qué son iguales A'B y A'C?

¿Por qué son iguales ∠EAF y ∠DAA'?

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 5 diciembre 2016. Creado con GeoGebra