Círculo incentro-excentro

En cualquier triángulo, el incentro, el excentro correspondiente a un lado y los extremos de ese lado son concíclicos. El centro de ese círculo es el punto medio del arco de la circunferencia circunscrita correspondiente al lado.

Las bisectrices exteriores de los vértices A y B, son perpendiculares a las interiores, y se cortan con la bisectriz del vértice C en el excentro I_C.

Por tanto, los puntos A, I, B y I_C son concíclicos y II_C es un diámetro.

El ángulo que forman las bisectrices de los vértices A y B en I es 90° + γ/2, pues α/2 + β/2 + γ/2 = 90°, y las bisectrices exteriores en I_C forman el ángulo suplementario, 90° - γ/2.

F es el punto medio del arco AB de la circunferencia circunscrita al △ABC. El cuadrilátero FBCA es cíclico, por lo que ∠BFA = 180° - γ = 2∠BI_CA es el ángulo central que subtiende el lado AB. Por otra parte, F también está en la bisectriz, pues divide al arco AB por la mitad. Por tanto F es el centro del círculo AIBI_C, y F es el punto medio de II_C.

F también está en la mediatriz de AB. Para un triángulo no isósceles esto valdría para argumentar, conjuntamente con su pertenencia a la bisectriz, que es el centro de la circunferencia, pero este argumento falla si el triángulo es isósceles

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 11 Marzo 2017. Creado con GeoGebra