Reordenación de la serie armónica alternada

Una serie de números reales converge condicionalmente si converge, pero diverge la serie de los valores absolutos de sus términos. Para ello es necesario que el término general tienda a cero y que contenga infinitos términos positivos e infinitos negativos.

A diferencia de lo que sucede con una serie absolutamente convergente, si se reordenan un número infinito de términos de estas series, el valor de su suma cambia. De hecho, reordenándolos convenientemente, se puede hacer que la serie tienda a cualquier número real a. El proceso es simple: se toman términos hasta superar el valor prefijado a, a continuación suficientes términos negativos para que la suma sea menor que a, y así indefinidamente. Como el término general tiende a cero y las series de términos positivos y negativos por separado deben divergir, esto asegura la convergencia a a. Esto es el conocido Teorema de Riemann sobre la reordenación de series convergentes.

La serie armónica alternada, de término deneral (-1)ⁿ⁺¹/n, es un ejemplo de serie condicionalmente convergente. En este applet puede verse como verifica el Teorema de Riemmann con cualquier valor real a.

Para ello, debemos escribir en el cajetín de entrada de la izquierda cualquier valor de a y pulsar los botones [1 +], [10 +], [100 +], [1000 +] o [m +], seleccionado primero el valor deseado de m, para añadir el número indicado de términos a la suma s.

Solo se muestran los 20 primeros términos, pero se calcula s y el número p de términos positivos y n de negativos en cualquier caso.

En la gráfica puede verse como evoluciona la suma. Pueden utilizarse las herramientas de la barra superior para desplazar la vista gráfica y hacer zoom. Con la herramienta Desplazar Vista Gráfica (las cuatro flechas en cruz) pueden además estirarse y encogerse los ejes de coordenadas de forma independiente.

Si se calculan demasiados términos de vez, como con el botón [1000 +], la respuesta puede tardar e incluso producirse un error. No obstante si ocurre esto último, se puede seguir con incrementos más pequeños.

La suma se reinicia con el botón [Reinicio] o cambiando el valor de a.

Si se toman p términos positivos, seguidos de n negativos, otra vez p positivos y así sucesivamente, la serie converge a ½ ln(4p/n), como puede verse en este PDF.

Si a ≠1/2 ln(4p/n), con p y n enteros positivos, de todas formas la razón p/n de términos positivos y negativos entre los k primeros, tiende a ¼ e^2a.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, 17/9/1826-Verbania, 20/7/1866) fue un matemático alemán que realizó contribuciones muy importantes al análisis y la geometría diferencial. Su nombre está conectado con la función zeta, la hipótesis de Riemann, la integral de Riemann, el lema de Riemann, las variedades de Riemann, las superficies de Riemann y la geometría de Riemann

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 1 junio 2017. Creado con GeoGebra