Volumen del Prismatoide

Un prismatoide es un poliedro limitado por dos polígonos situados en paralelos, las bases, y por triángulos o trapecios, las caras laterales, con vértices en dichas bases. La distancia perpendicular entre las bases es la altura h del prismatoide.

Si las bases son B₁ y B₂ y la sección por el plano paralelo medio a las bases es B_M, su volumen es:

V=⅙(B₁ + 4·B_M + B₂)·h

En la figura la demostración se ejemplifica para un antiprisma triangular por brevedad, pero es válida para cualquier prismatoide 'estrellado', en el que todos los vértices sean visibles desde algún punto interior de la sección media, M en la figura, aunque no necesariamente convexo (p.e. el Poliedro de Schönhardt).

Si alguna cara lateral es trapezoidal, se considera descompuesta en dos triangulares mediante una de sus diagonales. Uniendo el punto M con todos los vértices, el prismataoide queda descompuesto en dos pirámides correspondientes a las bases, con un volumen igual a ⅓ de la base correspondiente por ½h, más un tetraedro por cada cara lateral. La sección media divide a estos tetraedros, dejando a un lado un tetraedro cuatro veces menor, pues su base es la cuarta parte y la altura la misma, la distancia del punto M a la cara lateral. El volumen de cada tetraedro es entoces cuatro veces un tercio de la parte de sección media que interceptan por la mitad de la altura. Sumando los volúmenes de todos estos tetraedros, queda entonces cuatro veces un tercio de la sección media por la mitad de la altura. Añadiendo las dos pirámides correspondientes a las bases, se obtiene la fórmula para el volumen.

La fórmula se extiende a cualquier cuerpo limitado por dos caras paralelas y tales que las áreas de las secciones paralelas a esas caras dependan de la distancia a una de ellas de forma polnómica, con grado 3 como máximo. Esto es una simple aplicación de la regla de Simpson del cálculo integral. Esto permite extenderlo a cuerpos con superficies curvadas, como troncos de cono, segmentos esféricos y algunos tipos de toneles.

Igualmente una de las bases puede reducirse a un punto, pirámides y conos, o a un segmento, cuñas, teniendo área igual a cero. Si las dos bases se reducen a segmentos, en el caso de poliedros nos queda un tetraedro, lo que nos da un método alternativo para calcular su volumen (Volumen del tetraedro a partir de aristas opuestas)

Atención que no vale para toneles cuyas generatrices sean parábolas de ejes perpendiculares al del barril, pues entonces el radio varía de forma cuadrática con la altura y la superficie de las secciones cuárticamente Si que valdría para toneles asimétricos cuyas generatrices fuesen arcos parabólicos con un eje coincidente o paralelo al del tonel.

Ignacio Larrosa Cañestro (grupo XeoDin), 30 julio 2021. Creado con GeoGebra