Poliedro de Schönhardt

Se trata del poliedro más simple que no es tetraedrizable (que no puede descomponerse en tetraedros). Estos poliedros deben ser necesariamente cóncavos, los convexos siempre pueden tetraedrizarse. Es combinatorialmente equivalente a un octaedro regular: tiene ocho caras triángulares que concurren de cuatro en cuatro en cada uno de los seis vértices.

Está formado por dos triángulos situados en planos paralelos, podemos llamarlos bases, que no pueden obtenerse uno de otro por combinación de traslación y/o giro de 180º. Los vértices de estas bases se unen con los dos de la otra base que le siguen en sentido circular. De esta forma, las seis caras laterales forman alternadamente ángulos diedros cóncavos y convexos.

En el aquí representado, las dos bases son triángulos equiláteros con sus centros en la perpendicular común, que están girados 30º uno con respecto a otro. La distancia entre las bases es la misma que el lado de los triángulos equiláteros.
¿Te atreves a calcular su superficie total y su volumen?





Las seis caras laterales son iguales. Sus lados son un lado de los triángulos equiláteros, de valor 1, y otros de longitud AD y AE. El valor de sus proyecciones se calcula fácilmente con el teorema del seno, a partir de lo cual se halla su valor mediante el teorema de Pitágoras, teniendo en cuenta qure la altura es 1. En cuanto al volumen, como en cualquier prismatoide (cuerpo con vértices en dos planos paralelos y cuyas caras laterales son triángulos o cuadriláteros), se puede calcular de forma exacta aplicando la regla de Simpson del cálculo integral, ya que el área de las secciones horizontales varía cuadráticamente con la altura.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 24 enero 2021. Creado con GeoGebra

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