La regla de Simpson

Para calcular la integral defiida de una función f(x) en un intervalo [a, b] mediante la regla de Simpson, se sustituye la función por un polinomio de 2º grado t(x) que coincide con f(x) en los extremos del intervalo y en el punto medio m = (a + b)/2: t(a) = f(a), t(b) = f(b) y t(m) = f(m).

Por integración directa es fácil comprobar que

∫_a^b t(x) dx = ⅙(f(a) + 4f(m) + f(b))(b - a)

Para una función polinómica de 1º o 2º grado, el valor es evidentemente exacto, pues t(x) ≡ f(x).

Para una función de grado 3, el exceso/defecto de la primera mitad se compensa exactamente con el defecto/exceso de la segunda.

Para funciones de 4º grado, si k es el coeficiente principal, la diferencia es k(b-a)⁵/5!, como se comprueba fácilmente. Esto hace que la diferencia tiende rápidamente a 0 cuando lo hace la longitud del intervalo. Para otras funciones, siempre que estén acotadas en el intervalo, pasa lo mismo, por lo que para calcular la integral en un intervalo amplio se divide este en muchos subintervalos y se aplica la fórmula a cada uno de ellos. La aproximación de la integral queda entonces así:

∫_a^b f(x) dx = (h/3)(f(a) + f(b) + 4∑_i=1,+2^n-1 f(a + i·h) + 2∑_i=2,+2^n-2 f(a + i·h))

donde n es el nº par de subtintervalos empleados y h = (b-a)/n.

Es decir, (h/3) por la suma de los valores en los extremos, más 4 veces la suma de los valores en las divisiones impares y 2 veces en las pares interiores, consecuencia de agrupar los subintervalos de 2 en 2.

Puede introducirse cualquier función en la 1ª caja de entrada, y usar en su definición los parámetros k, p, q, r y s, que por defecto son los coeficientes de un polinomio de 4º grado.

Puede cambiarse igualmente el intervalo de integración [a, b]. La escala de la gráfica se ajusta automáticamente para encuadrar toda el área de interás, por lo que en general las escalas de los ejes serán distintas.

Ignacio Larrosa Cañestro (Grupo XeoDin), 29 abril 2021. Creado con GeoGebra